Introduzione

Parte prima. La concezione fondazionalista

1. La concezione fondazionalista

1. Caratteri della concezione fondazionalista - 2. Filosofia e giustificazione - 3. L’ambito della filosofia

2. Le origini della concezione fondazionalista

1. Impossibilità di una logica della scoperta - 2. Il ruolo del genio - 3. La natura del metodo - 4. La concezione concreta - 5. Condizioni sui sistemi di assiomi - 6. La filosofia come logica della giustificazione - 7. Il metodo della logica della giustificazione

3. La concezione fondazionalista e la certezza

1. La possibilità della conoscenza sintetica a priori - 2. La possibilità dell’intuizione pura - 3. La possibilità della costruzione - 4. Metodo assiomatico e costruzione

4. L’influenza della concezione fondazionalista

1. La centralità dell’intuizione - 2. La natura del metodo - 3. La concezione astratta - 4. Condizioni sui sistemi di assiomi - 5. La metamatematica come logica della giustificazione

5. La matematica in panni romantici

1. Un’opinione diffusa - 2. Una presunta filosofia implicita - 3. Il romanticismo e la matematica - 4. L’influenza del romanticismo - 5. Il romanticismo e la concezione astratta - 6. «Nescimus sed sciemus»

6. I programmi della coerenza e della conservazione

1. I paradossi - 2. Matematica finitaria e matematica infinitaria - 3. Il programma della coerenza - 4. Il programma della conservazione - 5. Equivalenza dei due programmi - 6. Aspettative sulla realizzabilità dei programmi

7. La matematica come sistema chiuso

1. L’assunzione del mondo chiuso - 2. La formulazione dell’assunzione del mondo chiuso - 3. La base della certezza degli assiomi - 4. L’articolazione dell’assunzione del mondo chiuso - 5. La natura della matematica

Parte seconda. I limiti della concezione fondazionalista

8. I risultati limitativi

1. Incompletezza e indecidibilità - 2. Indefinibilità della verità - 3. Indimostrabilità della coerenza - 4. Indimostrabilità della coerenza esterna - 5. Non‑caratterizzabilità - 6. Esistenza di estensioni false - 7. Incompletezza rispetto alla validità logica

9. Le resistenze al crollo

1. Formalizzabilità della matematica nota - 2. Formalizzabilità in una successione di sistemi formali - 3. Non‑formalizzabilità della matematica finitaria - 4. Utilizzabilità di sistemi con vincoli di coerenza - 5. Giustificabilità del nocciolo della pratica matematica

10. L’illusione dell’intuizione intellettuale

1. La matematica e lo spirito del tempo - 2. L’intuizione intellettuale - 3. Il metodo fenomenologico - 4. Insufficienza del metodo fenomenologico

11. Il fallimento della concezione fondazionalista

1. Insostenibilità dell’assunzione del mondo chiuso - 2. Vantaggi dell’incompletezza rispetto alla validità logica - 3. Pensiero matematico e sistemi formali - 4. Insostenibilità della concezione fondazionalista

12. Intuizione e mostri

1. Mostri - 2. Curve e tangenti - 3. Curve e quadrati - 4. Curve e lunghezze - 5. Stati e confini - 6. Superfici e aree - 7. Scomposizioni di sfere - 8. Intuizione e certezza

13. La correttezza delle dimostrazioni

1. Gli errori nelle dimostrazioni - 2. Il controllo della formalizzazione - 3. Le dimostrazioni lunghe - 4. Le dimostrazioni con l’aiuto del computer

14. I difetti del riduzionismo

1. Il riduzionismo assiomatico - 2. L’antiriduzionismo assiomatico

15. I limiti della concezione astratta

1. Difetti della concezione astratta - 2. Incongruenze dei sostenitori della concezione astratta

16. Il metodo assiomatico in abiti dimessi

1. Logica dell’organizzazione - 2. Logica dell’unificazione - 3. Logica della postulazione - 4. Logica della scoperta - 5. Logica della giustificazione debole - 6. Logica dell’inversione

17. Concezione fondazionalista e oggetti matematici

1. Il problema dell’esistenza matematica - 2. Il ruolo del problema dell’esistenza matematica - 3. Caduta del problema dell’esistenza matematica - 4. Irrilevanza del problema dell’esistenza matematica

Parte terza. La concezione euristica

18. La concezione euristica

1. Caratteri della concezione euristica - 2. Il posto della scoperta nell’attività matematica - 3. La natura dei metodi di scoperta

19. Le origini della concezione euristica

1. La necessità del metodo - 2. Il metodo come logica - 3. La natura del metodo

20. La concezione euristica e la certezza

1. Logica della scoperta e certezza - 2. Intuizione e deduzione - 3. Impossibilità di regole per l’intuizione e la deduzione - 4. La rinuncia a una logica della scoperta

21. L’ampliatività dell’inferenza

1. L’abbandono del mito della certezza - 2. Il paradosso dell’inferenza - 3. La non‑ampliatività dell’inferenza corretta - 4. Obiezioni contro la non‑ampliatività - 5. La necessità di estendere l’ambito della logica

22. Il metodo analitico

1. L’infinità della ricerca delle ipotesi - 2. Il metodo della riduzione - 3. Il metodo delle ipotesi - 4. Metodo analitico contro metodo assiomatico - 5. La fortuna del metodo analitico

23. L’opposizione al metodo analitico

1. L’infondatezza delle ipotesi - 2. L’algoritmicità delle ipotesi - 3. La necessità dell’intuizione e della divinazione - 4. Il regresso all’infinito - 5. Il cammino infinito - 6. L’unicità delle ipotesi - 7. La località - 8. La modularità

24. I vantaggi del metodo analitico

1. La spiegazione della soluzione dei problemi - 2. La produzione di nuova informazione - 3. L’interazione con la conoscenza esistente - 4. La cambiabilità delle regole in corso d’opera - 5. L’incompletezza - 6. La giustificazione delle ipotesi - 7. I gradi di correttezza delle dimostrazioni - 8. La pluralità delle dimostrazioni - 9. L’antiriduzionismo analitico

25. La riduzione all’assurdo e il metodo analitico

1. La riduzione all’assurdo - 2. Differenze rispetto al metodo analitico - 3. La dimostrazione indiretta - 4. Il «modus tollens» - 5. Riduzione all’assurdo ed esperienza immediata

26. La matematica come sistema aperto

1. L’assunzione del mondo aperto - 2. Il carattere interattivo dello sviluppo della matematica - 3. L’esigenza dell’assunzione del mondo aperto - 4. L’articolazione dell’assunzione del mondo aperto - 5. La natura della matematica - 6. Soluzione di problemi contro dimostrazione di teoremi - 7. Fallibilità contro infallibilità

27. La matematica come soluzione di problemi

1. Le questioni fondamentali della concezione euristica - 2. La nascita dei problemi matematici - 3. La posizione dei problemi matematici - 4. La soluzione dei problemi matematici - 5. Plausibilità della matematica come soluzione di problemi

Parte quarta. I procedimenti per trovare le ipotesi

28. La banalità dell’abduzione

1. Inferenze non‑deduttive per trovare le ipotesi - 2. Abduzione e ipotesi - 3. Abduzione e creatività - 4. Abduzione e «apagogè» - 5. Abduzione e «inventio medii»

29. Le ragioni della logica epicurea

1. La centralità della deduzione - 2. La necessità dell’induzione e dell’analogia

30. L’induzione

1. Il ruolo dell’induzione - 2. Le obiezioni contro l’induzione - 3. Il pregiudizio contro l’induzione - 4. Induzione e certezza - 5. L’induzione da più casi - 6. L’induzione da un solo caso - 7. Induzione e probabilità

31. L’analogia

1. Il ruolo dell’analogia - 2. L’analogia per quasi‑eguaglianza - 3. L’analogia per indistinguibilità separata - 4. L’analogia per equiproporzionalità - 5. L’analogia per concordanza - 6. L’analogia per concordanza e discordanza

32. Induzione e analogia

1. Un rapporto elusivo - 2. L’induzione come sottospecie dell’analogia - 3. L’analogia come sottospecie dell’induzione - 4. Il rapporto tra induzione e analogia

33. L’uso della figura

1. Uso della figura e pensiero matematico - 2. Uso della figura e induzione - 3. Uso della figura e analogia - 4. Uso della figura e visione - 5. Uso della figura e intuizione - 6. Uso della figura ed errore

34. La generalizzazione e la particolarizzazione

1. La generalizzazione - 2. La particolarizzazione - 3. L’unione di generalizzazione e particolarizzazione

35. La metafora e la metonimia

1. La metafora - 2. Le metafore extra‑matematiche - 3. Le metafore intra‑matematiche - 4. La metonimia

36. La definizione

1. La definizione come abbreviazione - 2. Limiti della definizione come abbreviazione - 3. La definizione come mezzo di scoperta - 4. Differenze euristiche tra le definizioni

37. L’ibridazione

1. Gli ibridi - 2. Ibridi e geometria - 3. Ibridi e calcolo infinitesimale

38. La variazione dei dati

1. La variazione totale dei dati - 2. La variazione parziale dei dati

39. Completamento del metodo

1. Le inferenze non‑deduttive come insieme aperto - 2. Precisazioni ed aggiunte sulle inferenze non‑deduttive - 3. Completamento del metodo analitico

40. Concezione euristica e oggetti matematici

1. Gli oggetti matematici come ipotesi - 2. Caratteri degli oggetti matematici come ipotesi - 3. Il finzionalismo - 4. Ipotesi contro finzioni - 5. Il limite del finzionalismo

Parte quinta. La matematica e il mondo fisico

41. Oggetti matematici e mondo fisico

1. Il rapporto tra la matematica e il mondo fisico - 2. L’astrazione - 3. L’idealizzazione - 4. Gli agenti ideali - 5. Gli oggetti matematici come ipotesi

42. Il parallelismo e l’applicabilità della matematica

1. Il parallelismo - 2. I limiti del parallelismo - 3. L’applicabilità della matematica - 4. Leggi matematiche e mondo fisico

43. L’efficacia della matematica

1. Curve geometriche e curve meccaniche - 2. Le corde vibranti - 3. La nozione di funzione - 4. Le funzioni analitiche - 5. La rinormalizzazione - 6. Il caos deterministico - 7. La ragionevole inefficacia della matematica

44. La naturalizzazione della matematica

1. Matematica e sopravvivenza - 2. Ipotesi e adattamento - 3. Geometria e adattamento - 4. Aritmetica e adattamento - 5. Soluzione di problemi e adattamento

Conclusione

Bibliografia

Indice dei nomi

Indice degli argomenti